在概率论与统计学中，二元正态分布是一种非常重要的连续型随机变量联合分布。它的概率密度函数（PDF）能够描述两个随机变量之间的关系及其分布特性。公式如下：

\[ f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right)^2 - 2\rho\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right)\left(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}\right) + \left(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}\right)^2\right]\right) \]

其中，\( \mu_x, \mu_y \) 是均值，\( \sigma_x, \sigma_y \) 是标准差，而 \( \rho \) 表示相关系数。

通过这个函数，我们可以直观地看到两个变量间的线性关系以及它们各自的波动范围。例如，当 \( \rho=0 \)，意味着两者独立；而当 \( |\rho|=1 \)，则表示完全正相关或负相关。💡

二元正态分布在金融风险分析、信号处理等领域有着广泛应用，是理解复杂系统行为的关键工具之一。📊📈